Fehlstellen ergänzen

Die exponentielle Glättung berechnet in ihrer einfachsten Form fehlende Werte durch die Rekursion \( \begin{equation} \begin{aligned} s_t= αx_t+(1-α) s_{t-1} \end{aligned}\end{equation}\) über Messwerte \( \begin{equation} \begin{aligned} \{x_t\}\end{aligned}\end{equation}\), wobei \( \begin{equation} \begin{aligned} 0<α<1 \end{aligned}\end{equation}\) der Glättungsfaktor ist.

Das angewendete Verfahren aus der Zeitreihenanalyse zur Vorhersage bei saisonalem Verhalten, die dreifach exponentielle Glättung (Holt 2004), auch das Holt-Winters-Smoothing genannt, hängt von drei Parametern \( \begin{equation} \begin{aligned} 0<α,β,γ<1\end{aligned}\end{equation}\) sowie der Saisonlänge \( \begin{equation} \begin{aligned} S\end{aligned}\end{equation}\) ab. Die untersuchte Zeitreihe wird in drei Komponenten zerlegt:

„Näherungsweise“ bedeutet, dass die Komponenten tatsächlich aus etwas komplexeren Ausdrücken zusammengesetzt sind.

Die Parameter \( \begin{equation} \begin{aligned} \alpha\end{aligned}\end{equation}\), \( \begin{equation} \begin{aligned} \beta \end{aligned}\end{equation}\) und \( \begin{equation} \begin{aligned} \gamma\end{aligned}\end{equation}\) steuern eine Gewichtung der Zusammensetzung der Komponenten aus aktuellen Werten und Werten in der Vergangenheit. Wenn \( \begin{equation} \begin{aligned} S\end{aligned}\end{equation}\) die Länge der Saison ist, ergeben sich die drei Komponenten folgendermaßen:
\( \begin{equation} \begin{aligned} l_t=\alpha⋅(y_t-s_{t-S})+(1-\alpha)⋅(l_{t-1}+b_{t-1}) \end{aligned}\end{equation}\),
\( \begin{equation} \begin{aligned} b_t=β⋅(l_t-l_{t-1} )+(1-β)⋅b_{t-1}\end{aligned}\end{equation}\),
\( \begin{equation} \begin{aligned} s_t=γ⋅(y_t-l_t )+(1-γ)⋅s_{t-S} \end{aligned}\end{equation}\).
Mit diesen Komponenten lässt sich ausgehend von einem Zeitpunkt \( \begin{equation} \begin{aligned} t\end{aligned}\end{equation}\), üblicherweise der letzte beobachtete Wert, eine Voraussage für beliebig viele Schritte in die Zukunft treffen:
\( \begin{equation} \begin{aligned} y_{t+r}=l_t+r⋅b_t+s_{t-(S-1)+r ̃} \end{aligned}\end{equation}\) mit \( \begin{equation} \begin{aligned} r ̃=(r-1)\ mod\ S\end{aligned}\end{equation}\).
Zur vollautomatischen Berechnung müssen die Glättungsfaktoren \( \begin{equation} \begin{aligned} \alpha\end{aligned}\end{equation}\), \( \begin{equation} \begin{aligned} \beta \end{aligned}\end{equation}\) und \( \begin{equation} \begin{aligned} \gamma\end{aligned}\end{equation}\) aus den vorhandenen Messdaten bestimmt werden. Diese Parameter werden über das 1965 von John Nelder und Roger Mead entwickelte Downhill-Simplex-Verfahren berechnet. Zur Bewertung der Güte eines Parametersatzes kommen unterschiedliche Teststatistiken zum Einsatz. Dabei werden jeweils ergänzte Daten mit vorliegenden Beobachtungsdaten verglichen und ein Fehlermaß (Sum of Squared Errors) berechnet.
Der Parameter für die Saisonlänge \( \begin{equation} \begin{aligned} S\end{aligned}\end{equation}\) kann wahlweise durch den Anwender vorgegeben oder automatisiert über die maximale Autokorrelation bestimmt werden.